Equação de Segundo Grau

Uma equação de segundo grau é uma equação polinomial do segundo grau. A forma geral de uma equação de segundo grau é:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

onde (a), (b) e (c) são constantes e ($$a \neq 0$$).

Fórmula de Bhaskara

Para resolver uma equação de segundo grau, podemos usar a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática):

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Aqui, (x_1) e (x_2) são as raízes da equação.

Importância e Aplicações

A equação de segundo grau é fundamental na matemática e tem várias aplicações práticas, incluindo:

Física: No movimento parabólico, a altura (h) de um objeto em função do tempo (t) pode ser representada por uma equação quadrática.
Engenharia: No design de estruturas como pontes e edifícios, equações quadráticas podem ser usadas para modelar cargas e tensões.
Economia: Em problemas de otimização, como maximizar lucros ou minimizar custos, muitas vezes encontramos equações quadráticas.
Vida Cotidiana: Calcular trajetórias em esportes como basquete, determinar a área de um terreno irregular ou até mesmo em finanças, como calcular juros compostos em certas situações.

Exemplo no Dia a Dia

Imagine que você queira lançar uma pedra em um lago e quer saber a altura máxima que a pedra atingirá antes de começar a cair. Suponha que a trajetória da pedra possa ser modelada pela equação (h(t) = -5t^2 + 10t + 1), onde (h(t)) é a altura em metros e (t) é o tempo em segundos.

Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes da equação:

$$t = 1 – \sqrt{\frac{6}{5}}$$

$$t = 1 + \sqrt{\frac{6}{5}}$$

O gráfico acima mostra a trajetória da pedra em relação ao tempo. Podemos ver que a pedra atinge sua altura máxima em torno de (t = 1) segundo.

Vamos resolver a equação de segundo grau (x^2 – 5x + 6 = 0) passo a passo:

Passo 1: Identificar os coeficientes

Dada a equação (x^2 – 5x + 6 = 0), podemos identificar os coeficientes:

$$(a = 1)$$

$$(b = -5)$$

$$(c = 6)$$

Passo 2: Calcular o discriminante

O discriminante Delta é calculado usando a fórmula:

$$\Delta = b^2 – 4ac$$

Substituindo os valores que temos:

$$\Delta = (-5)^2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1$$

Passo 3: Usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Podemos calcular as duas raízes:

Para (x_1):

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Para (x_2):

$$x_2 = \frac{-(-5) – \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 – 1}{2} = 2$$

Resposta:

As raízes da equação (x^2 – 5x + 6 = 0) são (x_1 = 3) e (x_2 = 2).

O gráfico acima mostra as raízes da equação no eixo x.

Espero que este post ampliado com exemplos tenha ajudado a entender ainda melhor a equação de segundo grau e sua importância! Se você tiver mais perguntas ou precisar de mais exemplos, sinta-se à vontade para perguntar.